スマホを変えたのでアプリを移行することはできますか？

はい。可能です。 ご利用の端末別に下記をご確認ください。

▼iPhoneの場合
Appストアのライブラリから確認できます。
また、ファミリー共有機能を使ってアプリ購入に利用したiPhoneとは別のiPhone上で本アプリを使用することが可能です。
ただし、問題の進捗率などの情報は複数のiPhone間で共有することはできません。設定方法はAppleにお問い合わせください。

▼Andoroidの場合
GooglePlayで購入した有料アプリは、同じGoogleアカウントなら新しい端末でも問題なくインストールできます。再度課金する必要はありません。